Karl Weierstrass Fraktale Forex

Geschichtesthema: Eine Geschichte der Fraktal-Geometrie Jedes mathematische Konzept, das heute den Schulkindern wohlbekannt ist, ist Jahrzehnte gegangen, wenn nicht Jahrhunderte der Verfeinerung. Ein typischer Schüler wird an verschiedenen Punkten in ihrer mathematischen Karriere - so lange oder kurz er auch sein mag - auf die Begriffe Dimension, komplexe Zahlen und Geometrie stoßen. Wenn das Feld der Mathematik sie nicht besonders interessiert, könnte dieser Schüler diese Konzepte als eigenständig und unverwandt sehen, und insbesondere könnte sie den Fehler machen zu denken, dass die euklidische Geometrie, die ihr in der Schule gelehrt wird, das ganze Feld der Geometrie umfasst . Wenn sie aber die Mathematik auf Hochschulniveau fortsetzen würde, könnte sie ein aufregendes und verhältnismäßig neues Fachgebiet entdecken, das die vorgenannten Ideen zusätzlich zu vielen anderen verbindet: fraktale Geometrie. Während die Löwen Anteil an der Anerkennung für die Entwicklung der Fraktalgeometrie an Benoicirct Mandelbrot haben, hatten viele andere Mathematiker im vorangegangenen Jahrhundert den Grundstein für seine Arbeit gelegt. Darüber hinaus verdankt Mandelbrot viel von seinen Fortschritten auf seine Fähigkeit, Computertechnologie zu benutzen - ein Vorteil, den seine Vorgänger deutlich fehlten, dies in keiner Weise beeinträchtigt seine visionären Leistungen. Trotzdem, während sie die Errungenschaften von Mandelbrot anerkennen und verstehen, hilft es zweifellos, mit den relevanten Werken von Karl Weierstrass, Georg Cantor, Felix Hausdorff, Gaston Julia, Pierre Fatou und Paul Leacutevy vertraut zu sein - nicht nur, um Mandelbrots klarer zu machen - - aber um seine Verbindungen zu anderen Zweigen der Mathematik zu sehen. Ebenso, während die meisten Autoren nicht versäumen, zumindest kurze Diskussion über Mandelbrots eher interessant und etwas unkonventionell (für ein modernes Mathematiker) Leben in ihren Texten auf Fraktalen einzuschließen, scheint es nur fair zu geben, einige, wenn nicht gleich, Rücksicht auf seine Vorgänger . Bis zum 19. Jahrhundert hatte sich die Mathematik nur mit Funktionen beschäftigt, die differenzierbare Kurven erzeugten. Tatsächlich sagte die herkömmliche Weisheit des Tages, daß jede Funktion mit einer analytischen Formel (d. h. Summe einer konvergenten Potenzreihe) sicher eine solche Kurve erzeugen würde. 3 Am 18. Juli 1872 stellte Karl Weierstrass an der Königlich-Preußischen Akademie der Wissenschaften eine Zeitung vor, die für eine positive Ganzzahl und 0 lt b lt 1 nicht differenzierbar ist. Unter Verwendung der Grenzdefinition eines Derivats zeigte er, dass der Differenzquotient der Funktion beliebig groß wird, wenn der Summationsindex zunimmt. Wie Weierstrass selbst hervorhob, hatte Riemann als Beispiel für eine nicht differenzierbare analytische Funktion eingeführt, aber niemals einen Beweis veröffentlicht, noch konnte man ihn selbst replizieren. 14 So steht Weierstrasss Beweis als das erste rigoros bewährte Beispiel einer analytischen, aber nicht differenzierbaren Funktion. Während Weierstrass und in der Tat viel von der mathematischen Etablierung der Zeit den Gebrauch von Graphen zugunsten der symbolischen Manipulation verhinderten, um Ergebnisse zu beweisen, fanden zukünftige Mathematiker wie Helge von Koch und Mandelbrot selbst es sinnvoll, ihre Ergebnisse grafisch darzustellen. 5 7 In der Tat, wenn man nur mit Kurven gearbeitet hat, die fast überall differenzierbar sind, ist eine offensichtliche Frage, wenn man auf eine Formel für eine Kurve trifft, die nicht ist, wie sieht es aus? Während diese beide Approximationen sind, kann man sehen, dass diese Funktionen Fehlt die Glätte der Parabeln oder der Sinus - und Cosinusfunktionen. Diese Funktionen widersprachen der traditionellen Analyse und waren - wenn auch nicht wegen ihrer Erscheinung, die jenseits der Fähigkeit der Mathematiker des Tages war, die von Monster Hermite verkörperten Monster zu vertreten und von der zeitgenössischen mathematischen Gemeinschaft weitgehend ignoriert zu werden. 2 Im Jahre 1883 Georg Cantor, der während seiner Zeit als Student an der Universität Berlin Vorträge von Weierstrass besuchte und die Theorie festlegen sollte, was Mandelbrot zur Fraktalgeometrie macht, führte eine neue Funktion ein, 968. Für die 968 0 außer auf der Menge der Punkte, z. Dieser Satz, z, ist bekannt als der Cantor-Satz. Die Funktion 968 ist singulär, monoton, nicht konstant und 968 0 fast überall. Es hat auch die Eigenschaft, dass die Cantor-Set hat ein Lebesgue-Maß von Null aber es ist auch unendlich unendlich. 3 Was mehr ist, hat es die Eigenschaft, sich selbst ähnlich zu machen, dh wenn man einen Teil des Satzes vergrößert, erhält man den ganzen Satz wieder. Wenn man Fig. 4 betrachtet, kann man leicht sehen, daß jede horizontale Linie ein Drittel der Grße der horizontalen Linie direkt darüber ist. In der Tat ist die Selbstähnlichkeit ein Merkmal von Fraktalen, und das Cantor-Set ist ein frühes Beispiel für ein Fraktal, obwohl die Selbstähnlichkeit erst 1905 definiert wurde (von Cesagravero, der das Papier von Helge von Koch, das unten diskutiert wurde, analysierte) und Fraktale wurden erst im Jahre 1975 bis Mandelbrot definiert, 2 so hätte Cantor in diesen Worten nicht daran gedacht. In einer im Jahre 1904 erschienenen Zeitschrift errichtete der schwedische Mathematiker Helge von Koch mit geometrischen Mitteln die nun berühmte von Koch-Kurve und damit die Koch-Schneeflocke, die drei von Koch-Kurven miteinander verbunden sind. In der Einleitung zu seinem Papier erklärte er folgendes über Weierstrasss 1872 Essay 6:. Es scheint mir, dass sein Weierstrass-Beispiel aus geometrischer Sicht nicht befriedigend ist, da die Funktion durch einen analytischen Ausdruck definiert ist, der die geometrische Natur der entsprechenden Kurve verbirgt und so von diesem Standpunkt aus betrachtet man nicht, warum die Kurve hat Keine tangente Vielmehr scheint es, dass das Aussehen tatsächlich im Widerspruch zu der tatsächlichen Realität steht, die Weierstrass rein analytisch etabliert hat. Von Kochs Kurve, wie der Cantor-Satz, hat das Eigentum der Selbst-Ähnlichkeit. Es ist auch ein Fraktal, obwohl, wie Cantor, von Koch nicht so gedacht hat. Er zielte nur darauf ab, eine alternative Möglichkeit zu geben, zu beweisen, dass Funktionen, die nicht differenzierbar waren (dh Funktionen, die keine Tangenten im geometrischen Sprachgebrauch haben) existieren könnten - eine Art und Weise, die mit der elementaren Geometrie einherging (Referenz 6s Titel übersetzt auf eine Kontinuierliche Kurve ohne Tangente konstruierbar aus elementarer Geometrie). Dabei hat von Koch eine Verbindung zwischen diesen nicht differenzierbaren Monstern der Analyse und Geometrie ausgedrückt. Von Koch selbst war ein ziemlich unauffälliger Mathematiker. Viele seiner anderen Resultate wurden von denen von Henri Poincareacute abgeleitet, von denen er wusste, dass es möglich war, pathologische Ergebnisse zu erlangen - d. H. Diese sogenannten Monster -, aber niemals wirklich erforscht, außerhalb des oben erwähnten Aufsatzes. 5 Poincareacute, wie man bemerken sollte, studierte im späteren 19. Jahrhundert eine nichtlineare Dynamik, die schließlich zur Chaos-Theorie führte, 2 ein Feld, das eng mit der fraktalen Geometrie zusammenhängt, obwohl es über den Rahmen dieses Papiers hinausgeht. Es ist daher angebracht, dass ein Mathematiker, dessen Arbeit dem von Poincareacute so eng gefolgt war, sich als einer der Vorfahren eines Feldes erweisen würde, das eng mit dem Studiengebiet zusammenhängt, für das Poincareacute selbst die Grundlagen gelegt hat. Ein absolut wichtiges Konzept im Studium der Fraktale, abgesehen von der oben erwähnten Selbstähnlichkeit und Nichtdifferenzierbarkeit, ist die von Hausdorff Dimension, ein Konzept von Felix Hausdorff im März 1918 eingeführt. Hausdorffs Ergebnisse aus dem gleichen Papier waren wichtig für das Feld Der Topologie, aber 3, dass seine Definition der Dimension die vorherige Definition erweitert, um Sätze zu erlauben, eine Dimension zu haben, die ein beliebiger Wert ungleich Null ist (im Gegensatz zur topologischen Dimension), der an der Definition eines Fraktals, Als Mandelbrot definierte Fraktale einen Satz mit Hausdorff Dimension streng größer als seine topologische Dimension. 2 Sobald Hausdorff diese neue, erweiterte Definition der Dimension eingeführt hat, war es Gegenstand der Untersuchung - insbesondere von Abraham Samilowitsch Besicowitsch, der von 1934 bis Anfang 1937 nicht weniger als drei Papiere schrieb, die auf Hausdorffs arbeiten. 3 Leider hat Hausdorff zu dieser Zeit Schwierigkeiten, als Juden im Nazi-Deutschland zu leben. Er war gezwungen, 1935 seinen Posten als Professor an der Universität Bonn aufzugeben, und obwohl er weiterhin an Theorie und Topologie arbeitete, konnte seine Arbeit nur außerhalb Deutschlands erscheinen. Trotz vorübergehender Bewältigung, in ein Konzentrationslager zu versetzen, wurde die Situation in Deutschland schnell unerträglich, und mit nirgendwo sonst ging er, zusammen mit seiner Frau und Schwester, im Januar 1942 zum Selbstmord zu begehen Hausdorff Dimension, d. Von einem selbstähnlichen Satz - seine Verbindung zur fraktalen Geometrie, obwohl, wie bereits erwähnt, gibt es viele andere Anwendungen der Hausdorff-Dimension - die durch die Verhältnisse r 1 verkleinert wird. R 2 R N (dh die erste Iteration des Satzes ist der ganze Satz, der um einen Faktor von r 1 verkleinert ist) erfüllt die folgenden zwei Gleichungen 2: Diese Gleichungen erscheinen jedoch nicht in Hausdorffs-Papier, da sie sich direkt auf Fraktale beziehen ( Und die Dimension eines Fraktals zu berechnen), die Ideen waren, die Hausdorff unbekannt gewesen wären. Dennoch ist es aus diesen beiden Gleichungen leicht zu sehen, wie man eine Dimension erhalten kann, die nicht eine ganze Zahl ist, als 2 In fast der gleichen Zeit, in der Hausdorff seine Forschung machte, entwickelten zwei französische Mathematiker, Gaston Julia und Pierre Fatou, Ergebnisse (Wenn auch nicht zusammen), die für die Fraktalgeometrie wichtig war. Sie studierten Mappings der komplexen Ebene und iterative Funktionen. Ihre Arbeit mit iterativen Funktionen führte zu den Ideen der Attraktoren. Punkte im Raum, die andere Punkte zu ihnen und Repellors anziehen. Punkte im Raum, die andere Punkte abstoßen, in der Regel zu einem anderen Attraktor. Diese Konzepte sind auch für die Chaostheorie wichtig. Die Grenzen der verschiedenen Becken der Anziehung erwiesen sich als sehr kompliziert und sind heute bekannt als Julia setzt, 7 ein Beispiel davon ist in Abbildung 6 zu sehen. Eine analytischere Definition eines Julia-Satzes für eine Funktion, f (z) , Ist nämlich der Julia-Satz von f die Grenze des Satzes von Punkten z 8712 C, die unter wiederholter Iteration durch f (z) zur Unendlichkeit entkommen. 2 Weil Fatou und Julia (und durch ihre Arbeit) ihre Computer voraussetzten, konnten sie keine Bilder erzeugen, wie die auf der rechten Seite, die die Grafik von Millionen von Iterationen einer Funktion ist. Sie waren beschränkt auf das, was sie von Hand machen konnten, was nur etwa drei oder vier Iterationen wäre. 7 Julia veröffentlichte ein 199-seitiges Papier im Jahr 1918 namens Meacutemoire sur literation des fonctions rationelles. Die viel von seiner Arbeit über iterative Funktionen und beschreibt die Julia-Set diskutiert. Mit diesem Papier gewann Julia den Grand Prix der Acadeacutemie des Sciences und wurde in den mathematischen Kreisen in den 1920er Jahren sehr berühmt. Doch trotz dieser Prominenz, seine Arbeit auf Iteration fiel in Dunkelheit für etwa fünfzig Jahre. 11 Fatou hingegen erreichte nicht das gleiche Ruhm wie Julia, auch zeitweilig, trotz der Entdeckung sehr ähnlicher Ergebnisse - wenn auch in anderer Weise - und sie auch zu veröffentlichen. Er hat eine Ankündigung seiner Ergebnisse an Comptes Rendus eingereicht. Während Julia sich entschieden hatte, sein Opus dem Journal de Matheacutematiques Pures et Appliqueacutees zu schicken. Julia, schützte seine Arbeit, schickte Briefe an Comptes Rendus und bat sie zu untersuchen, deren Ergebnisse Priorität hatten. Die Publikation startete ordnungsgemäß eine Untersuchung und enthielt eine Notiz über Julias-Befunde in der gleichen Ausgabe wie die Fatous-Ankündigung. Dies scheinbar entmutigt Fatou genug, um ihn davon abzuhalten, für den Grand Prix einzutreten. Dennoch gab ihm die Acadeacutemie des Sciences eine Anerkennung und verlieh ihm einen Preis für seine Arbeit zum Thema. 10 Julia-Sets können vollständig abgetrennt werden, in diesem Fall sind sie Staub (Abbildung 7) - ähnlich dem Cantor-Set (Abbildung 4) - oder sie sind vollständig verbunden (Abbildung 6). In seltenen Fällen können sie Dendriten sein (Abb. 8), wo sie vollständig aus ununterbrochen unterzweigenden Linien bestehen, die nur gerade verbunden sind, da die Entfernung von irgendwelchen Punkten von ihnen sie in zwei, 7 an diesem Punkt aufteilen würde, Sie würden als Staub betrachtet 7 Die Methode zur Entscheidung, ob ein Satz verbunden ist oder nicht, besteht darin, die Umlaufbahn des Ausgangspunktes zu berechnen. Die Umlaufbahn für einen Startpunkt, x 0. Ist die Sequenz 2 Wenn diese Sequenz in unendlich geht, wird das Set getrennt. Ansonsten ist es verbunden. 7 Im Jahre 1938, im Jahr nach Besicowitschs letztem Papier über die Hausdorff-Dimension, produzierte Paul Leacutevy eine umfassende Behandlung über das Eigentum der Selbstähnlichkeit. Er zeigte, daß die von Koch-Kurve nur eines von vielen Beispielen einer selbstähnlichen Kurve war, obwohl von Koch selbst gesagt hatte, daß seine Kurve verallgemeinert werden könne. Die von Leacutevy erzeugten Kurven (siehe Abbildung 9 für ein Beispiel - die grünen und blauen Sätze sind zwei kleinere Kopien des größeren Satzes) waren iterativ und verbunden und mit genügend Iterationen deckt (oder Fliesen) das Flugzeug. Leacutevys-Kurven sind jedoch keine Fraktale, da sie sowohl ein Hausdorff als auch eine topologische Dimension von zwei haben. 3 Wenig hat jemand zu dieser Zeit vermutet, dass es jemanden gab, wenn auch noch ein sehr junger Mensch, der die Werke von Leacutevy und Hausdorff vereinen würde. Benoit Mandelbrot wurde 1924 in Warschau geboren und war wie Hausdorff auch jüdisch, obwohl seine Familie 1936 das Leben unter dem Dritten Reich entkommen konnte, indem er Polen für Frankreich verließ, wo Familie und Freunde ihnen dabei behilflich waren, ihr neues Leben aufzubauen . Einer von Mandelbrots Onkel, Szolem Mandelbrojt, war ein reiner Mathematiker, der sich für den jungen Mandelbrot interessierte und versuchte, ihn in Richtung Mathematik zu steuern. Tatsächlich zeigte Mandelbrojt 1945 seinen Neffen die Werke von Fatou und Julia, obwohl der junge Mandelbrot zunächst nicht viel interessiert hatte. 13 Mandelbrots Ausbildung war sehr uneben und wurde 1940 vollständig unterbrochen, als Mandelbrot und seine Familie gezwungen waren, die Nazis wieder zu fliehen. Diesmal gingen sie nach Mittelfrankreich. Mandelbrot, wie Helge von Koch vor ihm, bevorzugte visuelle Darstellungen mathematischer Probleme, im Gegensatz zu den symbolischen, 7 obwohl dies auch aus seinem Mangel an formaler Bildung aufgrund des Zweiten Weltkrieges stammen kann. 13 Leider würde dies ihn in direkten Konflikt mit dem Lehrstil von Bourbaki bringen, einer Gruppe von Mathematikern, deren Glaube an die Lösung von Problemen analytisch (im Gegensatz zu visuell) dominiert die Lehre der Mathematik in Frankreich zu der Zeit. 7 Nach dem Ende des Krieges nahm Mandelbrot die Aufnahmeprüfungen für die Eacutecole Polytechnique in Paris, obwohl sie keine Vorbereitung hatte. Er hat sich in der Mathematik-Abteilung sehr gut bewährt, wo er seine Fähigkeit nutzen konnte, Probleme durch Visualisierung zu lösen, um Fragen zu beantworten. Während diese Methode in anderen Abschnitten nicht immer möglich war, gelang es ihm, 7 und nach einer eintägigen Karriere bei der Eacutecole Normale zu starten, begann Mandelbrot an der Eacutecole Polytechnique, wo er einen anderen seiner Mentoren traf, Paul Leacutevy, 13 der war Professor dort von 1920 bis zu seinem Ruhestand im Jahr 1959 12. Nach Abschluss seines Studiums zog Mandelbrot nach New York, wo er die Arbeit für IBMs Thomas J. Watson Research Center begann. Das Unternehmen gab ihm eine freie Hand bei der Auswahl eines Studienfachs, das ihm erlaubte, Konzepte mit eigenen Methoden zu erforschen und zu entwickeln, ohne sich um die Reaktion der akademischen Gemeinschaft kümmern zu müssen. 1967, während er noch dort war, schrieb Mandelbrot seinen markanten Aufsatz, wie lange ist die Küste von Großbritannien Statistische Selbst-Ähnlichkeit und Fraktionale Dimension 8, in der er die Idee der vorherigen Mathematiker mit der realen Welt verknüpft hat - nämlich Küstenlinien, die er behauptete Waren statistisch selbstähnlich. Er argumentierte, dass 8 Selbst-Ähnlichkeitsmethoden ein potentes Werkzeug bei der Untersuchung von Zufallsphänomenen sind, einschließlich Geostatik, sowie Ökonomie und Physik. Tatsächlich haben viele Geräusche die Abmessungen D zwischen 0 und 1. Nach diesem Aufsatz und mit Hilfe von Computern kehrte Mandelbrot zur Arbeit von Julia und Fatou zurück. Mit der Fähigkeit, zum ersten Mal zu sehen, wie diese Sets in ihren Grenzen aussahen, kam Mandelbrot mit der Idee, die Werte von c 8712 C zuzuordnen, für die die Julia für die Funktion fc (z) z 2 c gesetzt ist in Verbindung gebracht. Dies schafft das Mandelbrot-Set, M (Abbildung 10), das formell bezeichnet wird. Das Mandelbrot-Set ist für viele das Quintessenz-Fraktal. Wenn man einen Teil des Randes vergrößert, bemerkt man, dass der Mandelbrot-Satz tatsächlich selbst ähnlich ist. Darüber hinaus, wenn man noch weiter auf verschiedene Abschnitte der Kante zoomt, erhält man verschiedene Julia-Sets. In der Tat ist es asymptotisch ähnlich wie Julia in der Nähe eines Punktes an seiner Grenze, wie in einem Satz von der chinesischen Mathematiker Tan Lei bewiesen. 7 Mandelbrot hat es geschafft, nicht nur die Disziplin der fraktalen Geometrie zu erfinden, sondern hat sie auch durch ihre Anwendungen auf andere Bereiche der Wissenschaft popularisiert. Er glaubte eindeutig, dass dies wichtig war, wie er einmal sagte 3 Die seltenen Gelehrten, die Nomaden sind, sind für das intellektuelle Wohlergehen der besiedelten Disziplinen wesentlich. Wie er angedeutet hat, wie lange die Küste von Großbritannien ist, ist die fraktale Geometrie nützlich, um natürliche Phänomene darzustellen, wie Küsten, die Silhouette eines Baumes oder die Form von Schneeflocken - die Dinge sind nicht leicht mit der traditionellen euklidischen Geometrie dargestellt. Immerhin kommt mir keine organische Einheit in den Sinn, wenn man ein Quadrat oder einen Kreis betrachtet. Ebenso kommt bei der Betrachtung von Dingen wie dem Weg eines Flusses keine einfache Form aus der euklidischen Geometrie in den Sinn. Sogar die Erde ist nicht eine vollkommene Sphäre, so bequem sie auch für Berechnungen sein kann, um sie als solche zu behandeln. Darüber hinaus haben fraktale Geometrie und Chaostheorie wichtige Verbindungen zur Physik, Medizin und dem Studium der Populationsdynamik. 7 Allerdings, auch wenn das Feld fehlte diese Links, wäre es schwer für diejenigen, die so geneigt, die ästhetische Anziehungskraft der meisten Fraktale zu widerstehen. Mandelbrots nicht-traditionellen Ansatz führte ihn zu einer erstaunlichen und nützlichen neuen Form der Mathematik zu erfinden. Allerdings kann kein Mathematiker behaupten, seine Ergebnisse in völliger Isolation von irgendwelchen elses entwickelt zu haben. Mandelbrots Entdeckung verdankt den Mathematikern, die ihm vorausgingen, wie Weierstrass und von Koch, besonders aber Julia, Fatou und Hausdorff. Er profitierte auch von dem Zugang zu Computern, was ihm erlaubte, nicht nur auf die Werke anderer auf eine neue Art zu bauen - eine, die auf jeden Fall noch nicht gemacht worden war - sondern um seine bevorzugte Methode zur Lösung von Problemen zu nutzen - nämlich die Visualisierung. Darüber hinaus macht seine Erfindung auch einen Fall für die Bedeutung des Studiums der reinen Mathematik: Bis Mandelbrot kam und vereint die eklektischen Ideen von Hausdorff, Julia, et al., Sie repräsentierten sehr abstrakte mathematische Ideen aus verschiedenen Zweigen der (reinen) Mathematik. Es gibt sehr wenig, was einen gewöhnlichen Biologen über die Set-Theorie interessieren würde. Doch durch die fraktale Geometrie entwickeln viele dieser scheinbar abstrakten Ideen (von Mathematikern, die außerhalb ihrer eigenen Forschungsgebiete relativ unbekannt sind), Anwendungen, die andere Wissenschaftler und sogar Nichtwissenschaftler schätzen können. So ist die Arbeit, die schließlich zu Fraktalen und ihren Anwendungen führte, ein hervorragendes Gegenbeispiel zu den Argumenten von jedem, der es wagen würde, das Studium der reinen Mathematik zu verunglimpfen. Artikel von: Holly Trochet (Universität St. Andrews) Februar 2009 MacTutor Geschichte der Mathematik www-history. mcs. st-andrews. ac. ukHistTopicsfractals. htmlDie Ursprünge der Fraktale Karl Weierstrass An der Wende des Jahrhunderts wuchs die Feindseligkeit zwischen einigen Gruppen von Mathematiker Die Ursache dieser Feindschaft war, dass bestimmte Analytiker gezeigt hatten, dass Funktionen nicht notwendigerweise einige Eigenschaften besitzen müssen, die andere Analytiker dachten, dass Funktionen besitzen sollten. Mathematiker wie Karl Weierstrass erfinden neue Funktionen, die so bizarr sind, dass sie viel von der Mathematik-Gemeinschaft erschüttern. Hermite und sein Schüler Poincar beschrieb insbesondere Weierstrass neue Kreationen als bedauerliches Übel. Durch eine Einleitung beginnen wir mit einem Blick auf die Funktion F (x) x das hat die Eigenschaft, daß bei x gt0 dann F (x) x und sonst F (X) - x Betrachten wir nun, was bei x 0 passiert, wie in der folgenden Grafik dargestellt: F (x) ist stetig, mit der wir meinen, dass es keine Lücken in der Linie gibt. Wir können jede ununterbrochene Funktion als eine betrachten, die gezogen werden kann, ohne den Stift vom Papier zu nehmen. An der Stelle F (0) scheint es eine Delle in der Linie zu geben, die nicht glatt aussieht, egal wie nahe du dich vergrößert hast. Dies ist eine Diskontinuität im Hang (oder Gradient) der Kurve, wie sie sich plötzlich von einem ändert Winkel zu einem anderen. An dieser Stelle ist die Kurve nicht differenzierbar, da es keine Möglichkeit gibt, den Gradienten zu berechnen. Ding unterscheidbar an einem Punkt x ist in der Regel so glatt an diesem Punkt definiert. Im späten 19. Jahrhundert wurde geglaubt, dass alle stetigen Funktionen an mindestens einer Stelle differenzierbar (glatt) sein müssen. Es war Karl Weierstrass, der eine Funktion bildete, die nirgendwo differenzierbar war, aber immer noch stetig war. Dies bedeutet, dass der Gradient der Kurve niemals gefunden werden kann. Eine hier vorgestellte Version der Weierstrass-Funktion basiert auf einer unendlichen Summe von Cosinuskurven, und ein allgemeiner Fall ist Graph von C (x) gegen x. Wo in diesem Fall a 8 und b 0,9. Die folgende Sequenz zeigt die Kurve als zunehmende Anzahl von Kosinusbegriffen zusammen: Der erste Term n 1 Die Summe der ersten beiden Terme n 1 und n 2 Die Summe der ersten drei Terme n 1, n 2 und n 3 Die Summe der ersten vier Terme n 1, n 2, n 3 und n 4 Zu dieser Zeit gab es keine konzipierte Verwendung für diese Funktionen und viele Mathematiker waren beunruhigt, das Eigentum der Differenzierung als Konstante zu verlieren. Hermite beschrieb diese neuen Funktionen als eine schreckliche Plage und Poincar schrieb gestern, wenn eine neue Funktion erfunden wurde, war es, ein praktisches Ende zu dienen, heute sind sie besonders erfunden, nur um die Argumente unserer Väter aufzudecken, und sie werden niemals einen anderen Gebrauch haben . David Hilbert Trotz dieser Bemerkungen haben viele Mathematiker diese pathologischen Monsterfunktionen weiterentwickelt und eine der berühmtesten und gut benutzten Funktionen von David Hilbert geschaffen. Hilbert war ein viel respektierter Mathematiker an der Wende des Jahrhunderts, obwohl seine Zeitgenossen wie Gordan oft nicht gelernt Hilberts revolutionären Ansatz zur Lösung von Problemen zu schätzen. Dies gilt besonders für Hilberts-Beweis für den endlichen Grundsatz, den er der Mathematische Annalen unterwarf. Ein Theorem, den Gordan schon zwanzig Jahre zuvor mit einem viel komplizierteren Ansatz bewiesen hatte. Heute erinnert sich Hilbert besonders an seine berühmten 23 Pariser Probleme (darunter die Goldbachs-Vermutung - siehe mathematische Mysterien: die Goldbach-Vermutung in Ausgabe Nr. 2) und auch durch das Konzept des Hilbert-Raumes ein wichtiges Werkzeug in der Quantentheorie. Hilberts ein besonderer Beitrag zu den pathologischen Monsterfunktionen hat die Eigenschaft, nicht nur kontinuierlich, sondern auch surjektiv zu sein. Eine Raumfüllung Kurve. Space Filling Curves Die Hilbert Space Filling Kurve entsteht durch eine anfängliche Form, die wie eine Heftklammer aussieht. Das heißt, kopiert und gedreht viermal mit Verbindungsleitungen eingefügt, um einen quadratischen Bereich zu füllen. Seine Einfachheit und Schönheit beruht auf der Tatsache, dass es fortschreitend eine quadratische Array in eine unendliche Reihe von Sub-Quadraten unterteilt. Die endgültige Kurve wird durch wiederholtes Wiederholen des Kopiervorgangs unendlich viele Male erzeugt. Die ersten Etappen sind unten dargestellt. Diese Kurve ist eindimensional, hat aber die Eigenschaft, dass sie einen zweidimensionalen Raum vollständig füllt. Die entsprechende Funktion, die wir als H definieren, die eine einzelne reelle Zahl x annimmt und ein Paar reeller Zahlen (u. V) geschrieben hat, wird geschrieben H (x) (u, v). Dies wird als parametrische Darstellung für eine Kurve bezeichnet. Es hat die folgenden Eigenschaften: - H (x) ist eine Eins-zu-Eins-Abbildung (auch als Injektiv bekannt), so dass, wenn H (x) H (y) dann x y ist. Das bedeutet, dass sich die Linie nicht mit sich selbst überlappt. H (x) ist auf (auch als surjektiv bekannt), so dass jeder zweidimensionale Punkt im Quadrat (u, v) als H (x) für einige x ausgedrückt werden kann. Das bedeutet, dass die Linie alle möglichen Punkte auf dem Platz abdeckt. H (x) ist eine stetige Funktion. Das bedeutet, dass es keine Lücken in der Linie gibt. Da H injektiv ist, können wir eine inverse Abbildung H -1 finden. Eine solche inverse Abbildung würde einen Punkt auf dem Quadrat (u, v) auf einen Wert auf der Linie H (x) übersetzen. Allerdings ist diese inverse Abbildung nicht kontinuierlich zwei benachbarte Punkte auf dem Quadrat, H (x) und H (y) sagen, wird auf zwei Punkte x und y auf der Kurve abbilden, aber diese Punkte können fast jeder Abstand voneinander sein . Da unsere ursprüngliche Funktion H stetig war, zeigt dies uns die wichtige Tatsache, dass nicht alle stetigen Funktionen eine kontinuierliche Inverse haben. Der Begriff Fraktal, der heute häufig verwendet wird, um diese Familie von nicht differenzierbaren Funktionen zu definieren, die unendlich lang sind, wurde Mitte der 70er Jahre von Benoit Mandelbrot eingeführt. Der Begriff Fraktal wird aus dem lateinischen Adjektiv FRACTUS abgeleitet, dessen entsprechendes Verb FRANGERE bedeutet, eine Beschreibung zu brechen, die dem Aussehen dieser Kurven gut entspricht. Um mehr über Fraktale herauszufinden, werfen Sie einen Blick auf Modellierung der Natur mit Fraktalen anderswo in dieser Ausgabe. Weiterführende Literatur Die Mathematik der Fraktale wird in ein paar lustigen Webseiten besprochen: und in vielen Büchern, darunter: Fractals Everywhere, zweite Auflage von Michael F Barnsley überarbeitet mit der Unterstützung von Hawley Rising III. Boston London: Academic Press Professional, c1993 Computer, Pattern, Chaos und Beauty: Grafiken aus einer unsichtbaren Welt von Clifford A Pickover. Stroud: Sutton 1990 Die Fraktal-Geometrie der Natur von Benoit B Mandelbrot. San Francisco: W H Freeman, c1982 Einige der Bilder und Texte in diesem Artikel stammen aus dem folgenden Buch: Der Autor Dr. Martin J Turner. Imaging Research Center, SERC, De Montfort Universität, Leicester LE1 9BH